任意素数を法として可約な既約多項式

$\mathbb{Z}$ 係数多項式の既約性に関して, 次が成り立ちます.

定理.1
$f(X)\in\mathbb{Z}[X]$ をモニックとする. ある素数 $p$ が存在して $f$ が $\bmod p$ で既約ならば, $f$ は $\mathbb{Z}$ 上既約.

(証明)

$f=gh~~(g,h\in\mathbb{Z}[X])$ とする. $f$ がモニックより, $g,h$ の最高次係数は $\pm 1$ である. $\mathbb{Z}$ 係数多項式 $f$ の係数を $\bmod p$ で考えて $\mathbb{F}_p$ *1係数多項式とみなしたものを, $\bar{f}$ と書くことにしよう. すると, $\bar{f}=\bar{g} \bar{h} \pmod p$ *2となるが, $\bar{f}$ が既約より, $\bar{g}\in\mathbb{F}_p^\times$ として良い. $g$ の最高次係数は $\pm 1$ であったので, $g=\pm 1$ となるしかない. したがって, $f$ は $\mathbb{Z}$ 上既約である.

$\Box$

さて, この記事では, 定理.1の逆が成り立たないことを示そうと思います. すなわち目標は, $\mathbb{Z}$ 上既約だが任意の素数 $p$ に対して $\bmod p$ で可約となるようなモニック $f(X)\in\mathbb{Z}[X]$ を与えることです. 実は, $X^4 +1$ がこの条件を満たすのですが, その証明の前にいくつか準備をします. (事実と書いたものはこの記事では証明しませんが, 今後別の記事で証明を与えるかもしれません.)

事実.2 (アイゼンシュタインの既約判定法)
$f(X)=a_n X^n+\cdots+a_1 X^1+a_0\in\mathbb{Z}[X]~~(a_n\neq 0)$ は, 次の条件(i)(ii)(iii)を満たす素数 $p$ が存在するならば $\mathbb{Z}$ 上既約である.
(i) $a_n$ は $p$ の倍数でない.
(ii) $a_{n-1},\cdots,a_0$ は $p$ の倍数.
(iii) $a_0$ は $p^2$ の倍数でない.

定義.3
$p$ を素数, $m\in\mathbb{Z}$ が $p$ の倍数でないとする.
(1) $a^2=m\pmod p$ となる $a\in\mathbb{Z}$ があるとき, $m$ は $\bmod p$ で平方剰余であるという.
(2) $p$ が奇素数なら,

$\left(\displaystyle\frac{m}{p}\right)=\begin{cases}1~~~~(mが\bmod pで平方剰余)\\ -1~(otherwise)\end{cases}$

と定義し, これをルジャンドル記号という.*3

事実.4
$p$ が奇素数で, $m,n\in\mathbb{Z}$ が $p$ の倍数でないならば,

$\left(\displaystyle\frac{mn}{p}\right)=\left(\displaystyle\frac{m}{p}\right)\left(\displaystyle\frac{n}{p}\right)$ .

これで準備ができたので, 証明に入ります.

命題.5
(1) $X^4 +1$ は $\mathbb{Z}$ 上既約.
(2) 任意の素数 $p$ に対して, $X^4 +1$ は $\bmod p$ で可約.

(証明)

(1) $f(X):=X^4 +1$ とおく. $f(X+1)=(X+1)^4 +1=X^4+4X^3+6X^2+4X+2$ であるから, 素数 $2$ に関するアイゼンシュタインの既約判定法により, $f(X+1)$ は $\mathbb{Z}$ 上既約. したがって, $f(X)=X^4 +1$ も $\mathbb{Z}$ 上既約である.

(2) 以下, $\mathbb{F}_p$ 上で考える.

(i) $a^2=2$ となる $a\in\mathbb{F}_p$ が存在するとき,

$X^4+1=(X^2+aX+1)(X^2-aX+1)$ より, $X^4 +1$ は $\bmod p$ で可約.

(ii) $b^2=-2$ となる $b\in\mathbb{F}_p$ が存在するとき,

$X^4+1=(X^2+bX-1)(X^2-bX-1)$ より, $X^4 +1$ は $\bmod p$ で可約.

(iii) $c^2=-1$ となる $c\in\mathbb{F}_p$ が存在するとき,

$X^4+1=(X^2+c)(X^2-c)$ より, $X^4 +1$ は $\bmod p$ で可約.

ここで, $p=2$ なら(iii)となるので, 以下 $p\neq 2$ とする. 事実.4より $\left(\displaystyle\frac{-2}{p}\right)=\left(\displaystyle\frac{-1}{p}\right)\left(\displaystyle\frac{2}{p}\right)$ であるから, (i)(ii)(iii)のうちどれかが必ず成り立つ. よって, $X^4 +1$ は $\bmod p$ で可約.

$\Box$

*1: $\mathbb{F}_p:=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$